わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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こんなものがあるのだということを知りました。

FTEXT‐フリー教材開発コミュニティ
URL: http://www.ftext.org/

大勢で寄って集って教科書を作りましょう、という試みのようで、
上記のサイトでPDFファイルをダウンロードできます。
さらに、数学Iと数学Aの教科書に関しては
紙媒体で出版もされているようです。

ああ、こういうの、良いなあ。
なんだか、嬉しくなっちゃいました。
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nを自然数とします。
二人の人(たとえば、あなたと私)がn回のコイントスをするとき、
二人の「表が出た回数」が一致する確率 p(n) はどれぐらいでしょうか?
また、n→∞ としたときの p(n) の振る舞いはどうなるでしょうか?
元気(やる気)があるうちに書きためておこう。
(ブログって、そういうもんではない気もするんだけれど)

無限和の計算は、時にデリケートな配慮を必要とするけれども、
(勝手に和の順番を変えちゃダメだ、とか)
いわゆる「絶対収束級数」の計算は
デリカシーのない自由な式変形が許されるので気が楽だし、
無限に和を取っていることの御利益として
「誤差項が0である」ことから「結果の形がきれい」なことも多く、
好きです。
続きを読む
LaTeXIT というアプリできれいな数式の画像が簡単に作れるので、
楽しくなっちゃって、思わず本日2つ目のエントリー。
三角関数の倍角公式の話です。

まず

S(x)の定義

とおきます。これは公式をきれいに書くため。
すると、任意の自然数 n に対して

倍角公式

という公式が成り立ちます。
なかなかインパクトがあります。
サイン関数の2倍角公式や3倍角公式の形

正弦関数の2倍角と3倍角公式

になじみがある人は
「こんな綺麗な一般的公式があるんだ!」
って感じで、新鮮かも知れませんね。

なお、両辺を S(x) で割っておいて x→0 の極限を取ると

倍角公式の特殊化

という等式が得られますが、これは
「単位円に内接する正n角形のある一つの頂点から
 残りのnー1個の頂点に引いて出来る対角線の長さの積は
 ちょうどnに等しい」
という図形的な解釈があります。
ちょっと不思議で素敵でしょう?
またもやずいぶんと間が空いてしまいました。
というわけで、ふと思いついた軽い話とか。

3次正方行列 A, B が
二つの3次行列

によって与えられるとき、A-1B を求める計算は

基本変形

という1回の基本変形の計算にまとめられる、というお話。
つまり (A|B) と並べた状態から行に関する基本変形をして
(I|P) という形に到達できたら(Iは単位行列)、
P=A-1B になっているわけですね。
(B=I の場合がおなじみの逆行列の計算です)
計算結果の行列の第1列目に並んでいる数は、ベルヌーイ数と呼ばれるものです。
(符号の付け方の流儀が通常と異なりますが)
一般に、二項係数を上のような感じの規則性で並べた行列を
二つ用意しておいて同様の計算をすると、
計算結果の第1列目にベルヌーイ数が登場します。
他の成分の持つ意味は?
うんうん、ちゃんとありますよ。
実はこれ、自然数の冪の和の公式の係数を
抜き出して出来る行列になっているのですねー。
たとえば、上の計算結果の3行目 (1/6, 1/2, 1/3) は

平方和

の係数を並べたものになっているわけです。
ふむふむ。
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