今日見つけた、ちょっとした「公式」について書いてみます。

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今回は確率の話題です。
次のようなゲームを考えてみます。

プレイヤーは、最初に参加料 100 ドルを払う。
最初の時点で、払戻金は 1 ドル。
プレイヤーがコインを投げて、
(1) もし表が出たら、払戻金が 2 倍に増額されてゲームは続行、
(2) もし裏が出たら、その時点でゲーム終了、払戻金が支払われる。

つまり、たとえば
・１回目のコイントスで裏が出たら、1ドルを受け取って終了
・１回目で表、２回目で裏が出たら、2ドルを受け取って終了
・１回目と２回目が表、３回目で裏が出たら、4ドル受け取って終了
・１回目〜３回目が表、４回目で裏が出たら、8ドル受け取って終了
・１回目〜４回目が表、５回目で裏が出たら、16ドル受け取って終了
といった具合です。

さて、このゲームを行うとき、
プレイヤーが受け取ることになる払戻金の期待値は、いったいいくらでしょうか？
n 回目のコイントスで終了する確率は 1/2ⁿ であり、
そのときに受け取る払戻金は 2ⁿ⁻¹ドルなので、
期待値は

　1×1/2 ＋ 2×1/4 ＋ 4×1/8 ＋ 8×1/16 ＋16×1/32 ＋ … ＝ ∞

ということになりますよ！
ということは、参加料の 100 ドルは確かに高額だけれども、
十分に元が取れるゲームである、と判断していいのでしょうか？

実際にこういうゲームがあったとして、あなたはこのゲームをやりますか？

今日は少しだけ、前回登場した σ(n) に関連して。
これは、n の約数の和を表していました。
たとえば、6 の約数は 1, 2, 3, 6 なので、
　σ(6)＝1＋2＋3＋6＝12
といった具合です。

これ、よーく見ると、元の数 6 のちょうど２倍になっています。
あるいは、1＋2＋3＋6＝12 において 6 を右辺に移項すると
　1＋2＋3＝6
と書くことも出来ます。つまり、
「自分自身以外の約数を足し合わせると自分自身に等しい」
という性質を持っています。
このような数は古来より完全数と呼び習わされています。

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もう１回だけ分割の話をします。

前回は「k 以下の数だけを使った n の分割の個数」を考えると、
それらの間には簡単な関係式が成り立つことを観察しました。
そのおかげで、分割の個数の計算が
計算機に乗っけることができるアルゴリズムに帰着されたのだったね。

今回は、p(n) そのものがみたす関係式を
証明は抜きで紹介だけしようと思うのです。

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自然数 n の分割の個数 p(n) を計算するのは大変そう、
というあたりで前回の話を終わりました。
今回は、p(n) の実際的な計算についてちょっと触れてみます。

いまや、かなり高性能のコンピュータを個人で自由に使える時代です。
大変そうな計算はコンピュータにお願いする、
ということを考えてみます。
そのために、p(n) をどうやってコンピュータに計算させるか、
もう少しきちんと言えば、
どういったアルゴリズムで p(n) が計算できるのか、
ちょっと考えてみますね。

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ブログにおける最初のエントリーは
それ以降の方向性をなんとなく決定づけてしまいそうだから、
何を話題として取り上げるかを慎重に考えなくては…

なーんて言っていたらいつまで経っても何も書けないよね。

というわけで、まあまあ、気楽に参りましょう、
と自分に言い聞かせて、
えいやっ！と書き始めることにします。

申し遅れました、笹の葉さらさらと申します。
よろしくお願いします。

で、何の話にしようかな。

あ、別に１回ごとにきれいに完結するような書き方でなくてもいいのか。
それじゃあ、そうね、
好きな話題の一つの、分割について書いてみるね。
算数の一番最初の頃に習うことの一つが足し算で、
分割というのは足し算を知っていれば定義できるものだから、
最初の投稿にふさわしい、かもしれないしね。

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