わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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なんだかついつい堅めの話題ばかりになっちゃうので、
もうちょっと気楽に、日常的な数字の話をしてみるよ。

買い物に行って、たとえばお釣りが314円とかだったりすると、
思わず「おお、円周率だ!」とか思っちゃうことってないですか?
私はしょっちゅうです。
“キリ番”でない数字にもついつい反応してしまう、
そんな数字のうち、4桁のものをいくつか挙げてみます。
(買い物の総額でわりと目にする機会の多そうな桁数として4桁にしてみました)

★ 2のべき系統
1024 2048 4096 8192

★ 昔覚えた語呂合わせ系統:平方根の近似値
1414 1732 2236

★ 問題文中でよく見かけた数:常用対数の近似値(ややマニアックか?)
3010 4771

★ 特別な定数の近似値:円周率、自然対数の底、黄金比
3141 2718 1618

タクシーナンバー(ちなみに大山の標高も1729mです。トリビア。)
1729

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今野 浩:役に立つ一次式 ー 整数計画法「気まぐれな王女」の50年
日本評論社 (2005/11) 1900円+税

与えられた連立一次不等式が定める凸領域内において
ある一次関数を最大化する点を求めよ、
というのが「線型計画法」と呼ばれる問題。
念頭に置いているのは、たとえば
「決められた予算内で事業の利益を最大化するには
 どのように予算配分すべきか?」
といった類の「最適化」問題です。
そのヴァリエーションとして、特に変数の取りうる値の範囲を整数値に限って
最大値を与える点を求めるという問題が
サブタイトルにある「整数計画法」。
これはつまり、変数が「人数」「径路数」のような場合を想定しているわけだね。
この整数計画法における画期的な「美しい理論」が生まれ、注目を浴び、
しかし実用性の面から見捨てられ、後に再び息を吹き返して「役に立つ」という物語。
これは面白いなー!一気に読んでしまった。
確かに、こういう問題を考える上で線形代数は基本的な道具なんだよ、
ということを(歴史も含めて)お話として知っているだけでも、
訳も分からず勉強するよりは現実感があって身が入るかもしれないなー。

学部生の頃の自分に読ませたい度:★★★★★
√2 が無理数であることの証明は、
典型的な「背理法」の証明の例として有名でしょう。
簡単におさらいすると:

【証明】√2 が有理数であると仮定する。
つまり、√2=m/n となるような整数 m, n が存在するとしよう。
約分は既に済ませてある、つまり m と n は互いに素であると仮定して良い。
両辺を n 倍すると m=n√2 で、さらに両辺を自乗すると m^2=2n^2 となる。
従って m^2 は偶数であるが、このことは m 自身が偶数であることを意味する。
よって m=2M(M は整数)と書ける。これを先ほどの式に代入すると
4M^2=2n^2 つまり n^2=2M^2 で、
同様にして n も偶数であることが結論される。
これは、m と n が2を公約数に持つことを意味し、
互いに素であるとした仮定に矛盾する。
従って、√2 が有理数であるとした仮定が正しくなかったことになる。
つまり√2は無理数である。■

ほとんど同じ方針で √3 も無理数であることが証明できます。
(整数 m の平方 m^2 が3で割り切れるならば m 自身も3で割り切れる、という事実を使う)

では、√2+√3 は無理数でしょうか?
無理数だったとして、どのようにしてそのことを証明すれば良いでしょうか?
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