昔、一時期はまっていたことがあるのです、フィボナッチ数列。
ねんのため復習しておくと、フィボナッチ数列というのは、漸化式

F(1)=F(2)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n)

によって定義される数列で、初めのほうは

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...

といった具合になっています。
これは色々な性質を満たすのだけれども、
昔私が気付いたこと（もちろん well-known な結果だけれども）
についてちょっと書いてみます。
フィボナッチ数列の持つ性質の一つとして、

m | n ならば F(m) | F(n)

というものがあります。
たとえば F(3)=2 なので、
F(3), F(6), F(9), F(12), ... などはすべて 2 で割り切れます。
同じように F(4)=3 なので
F(4), F(8), F(12), F(16), ... などはすべて 3 で割り切れます。

では、p を勝手な素数としたとき、
p | F(n) となるような自然数 n はいつでもあるでしょうか？
実はそのような自然数 n は必ず存在することが分かるのですが、
それらのうちで最小のものを n(p) と書くことにします。
たとえば 5 で割り切れる F(n) のうちで n が最小のものは F(5)=5 なので n(5)=5、
7 で割り切れる F(n) のうちで n が最小のものは F(8)=21 なので n(7)=8 といった具合。
いくつか例を挙げると、

n(2)=3, n(3)=4, n(5)=5, n(7)=8, n(11)=10, n(13)=7, ...

といった具合。
ここに某かの規則性を見出すことは出来るでしょうか？
実は、次のような性質があることが観察されます。

p≠5 ならば p≡±1 (mod n(p))

たとえば n(13)=7 なので 13≡-1 (mod 7) です。
この ±1 の規則性はどうやって決まっているのでしょうか。
そして、5 だけが例外なのはどうしてでしょうか。
この２つの問いは一度に解けて、実は次のようになっています。

【定理】任意の素数 p に対して p≡(5/p) (mod n(p)) が成り立つ。
ただし (m/p) はルジャンドルの記号を表す。

証明は、とても雑に言えば、
有限体 GF(p) でフィボナッチ数列を考えることで出来ます。