わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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ブログにおける最初のエントリーは
それ以降の方向性をなんとなく決定づけてしまいそうだから、
何を話題として取り上げるかを慎重に考えなくては…

なーんて言っていたらいつまで経っても何も書けないよね。

というわけで、まあまあ、気楽に参りましょう、
と自分に言い聞かせて、
えいやっ!と書き始めることにします。

申し遅れました、笹の葉さらさらと申します。
よろしくお願いします。

で、何の話にしようかな。

あ、別に1回ごとにきれいに完結するような書き方でなくてもいいのか。
それじゃあ、そうね、
好きな話題の一つの、分割について書いてみるね。
算数の一番最初の頃に習うことの一つが足し算で、
分割というのは足し算を知っていれば定義できるものだから、
最初の投稿にふさわしい、かもしれないしね。
自然数(1, 2, 3, …というやつ、つまり正の整数のこと)の分割というのは、
その自然数を、いくつかの自然数の足し算の形に書き表したもののこと。
言葉で書くとややこしいね。
例を挙げよう。
たとえば、4 という自然数は 3+1 とか 2+2 とか 1+1+1+1 とかいった形に
書き表すことが出来るけれども、こういったものたちを 4 の分割といいます。
4 の分割は全部で5つあって、その全てを書き出すと、

4
3+1
2+2
2+1+1
1+1+1+1

といった具合。
上ではきちんと書かなかったけれども、
4 のように足し算の記号「+」が一つもないものでも
「1個の数を使った書き表し方だ」と思って分割の仲間に入れます。
また、4 にはたとえば 1+3 という表し方もあるけれども、
これは 3+1 において足し算の順番を入れ替えただけのものなので
同じ分割であると考えちゃいます。
だから上の5つしかないわけです。

ちなみに、足し算の順番が違うものは区別して考えた場合には

4
3+1, 1+3
2+2
2+1+1, 1+2+1, 1+1+2
1+1+1+1

の8通りの書き方があることになります。

具体例をもう少し書いてみます。

1 の分割は
 1
の1つだけ。

2 の分割は
 2, 1+1
の2つ。

3 の分割は
 3, 2+1, 1+1+1
の3つ。

4 の分割は、上にも書いたけれど、
 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1
の5つ。

5 の分割は、
 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
の7つ。

便利が良いように記号を定めておくことにすると、
自然数 n の分割の個数をふつう p(n) という記号で表します。
たとえば、上に書き出した例から
p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5, p(5)=7
といった具合。

ついでに、足し順が違うものを区別すると
1の書き表し方は
 1
の1通り。
2 の書き表し方は
 2, 1+1
の2通り。
3 の書き表し方は
 3, 2+1, 1+2, 1+1+1
の4通り。
4 の書き表し方は
 4, 3+1, 1+3, 2+2, 2+1+1,
 1+2+1, 1+1+2, 1+1+1+1
の8通り。
5 の書き表し方は
 5, 4+1, 1+4, 3+2, 2+3, 3+1+1, 1+3+1, 1+1+3,
 2+2+1, 2+1+2, 1+2+2, 2+1+1+1, 1+2+1+1,
 1+1+2+1, 1+1+1+2, 1+1+1+1+1
の16通り。
これぐらい書くと予想がつくと思うけれども、
一般に自然数 n をいくつかの自然数の和で書き表す表し方は、
足し算の順番が違うものを区別して数えるならば、
ちょうど 2n?1 通りあることが簡単に分かります。
(書き表し方の総数が2倍ずつ増えていくわけですね)

一方で、自然数 n の分割がいくつあるかは、
上の例を眺めてもさほど簡単には予想がつきません。
また、たとえば
「10 の分割はいくつある?」
(言い換えれば「p(10) の値はいくつ?」ということ)
という質問に答えるためには
 10, 9+1, 8+2, 8+1+1, …
といったふうにして 10 の分割をせっせと列挙していって
それらを数えて「これだけありました」と答えるしかなさそうですが、
それって、かなり大変そうです。

なんだかずいぶん長くなってしまったので、
初回のこのエントリーはこのあたりまでにしておきます。
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コメント

はじめまして。
この分割の概念を知っていれば、素因数分解でなんで1が入らないのかがわかりますよね♪
たし算で、0での分解をゆるすと
1=1+0+0+0・・・・
かけ算で、1での分解をゆるすと
1=1x1x1x1x・・・
どちらもずっと続いて大変大変(;´▽`A``
2006/04/17(月) 13:57:17 | URL | ★猫顔★ #YG9ONXHE[ 編集]
ようこそ!
遊びに来てくれて、どうもありがとう!

そうそう、素因数分解で1を素数の仲間に入れちゃうと、
1×1=1のおかげで、
素因数分解が何通りにも増えちゃうんですよね。
そういう意味では、分割も似た状況に見えるけれども…
じつは、0も許してあげた方が都合が良いことも
あったりするんですよ。
2006/04/17(月) 20:12:33 | URL | 笹の葉さらさら #-[ 編集]
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