わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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√2 が無理数であることの証明は、
典型的な「背理法」の証明の例として有名でしょう。
簡単におさらいすると:

【証明】√2 が有理数であると仮定する。
つまり、√2=m/n となるような整数 m, n が存在するとしよう。
約分は既に済ませてある、つまり m と n は互いに素であると仮定して良い。
両辺を n 倍すると m=n√2 で、さらに両辺を自乗すると m^2=2n^2 となる。
従って m^2 は偶数であるが、このことは m 自身が偶数であることを意味する。
よって m=2M(M は整数)と書ける。これを先ほどの式に代入すると
4M^2=2n^2 つまり n^2=2M^2 で、
同様にして n も偶数であることが結論される。
これは、m と n が2を公約数に持つことを意味し、
互いに素であるとした仮定に矛盾する。
従って、√2 が有理数であるとした仮定が正しくなかったことになる。
つまり√2は無理数である。■

ほとんど同じ方針で √3 も無理数であることが証明できます。
(整数 m の平方 m^2 が3で割り切れるならば m 自身も3で割り切れる、という事実を使う)

では、√2+√3 は無理数でしょうか?
無理数だったとして、どのようにしてそのことを証明すれば良いでしょうか?
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コメント
Q[x]/p(x)*Q[x]
    Sqrt[2] + Sqrt[3]は 
   商環(実はQ上4次の拡大体)
Q[x]/(1 - 10*x^2 + x^4)*Q[x]
  の元で 基礎体Qの元ではありません。


Sqrt[2] + Sqrt[3] + Sqrt[5] + Sqrt[7] は
     商環(実はQ上16次の拡大体)
Q[x]/(46225 - 5596840*x^2 + 13950764*x^4 -
7453176*x^6 + 1513334*x^8 -
141912*x^10 + 6476*x^12 - 136*x^14 + x^16)*Q[x]
    の元で 基礎体Qの元ではありません。
------------------------------------------
         上の 体論の具体例に関連
し ;
http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=17788&mode2=preview_pc
 は、わりと好きかもしれません の 範疇に 入る問 でしょう。  御参加ください!

2007/09/09(日) 22:22:50 | URL | G #kvDv2TXo[ 編集]

お誘いありがとうございます。
笹の葉は出不精なので
自分のブログあたりでくすぶっております。
御免下さいませ。
2007/09/14(金) 18:03:27 | URL | 笹の葉さらさら #-[ 編集]
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