わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
昔、一時期はまっていたことがあるのです、フィボナッチ数列。
ねんのため復習しておくと、フィボナッチ数列というのは、漸化式

F(1)=F(2)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n)

によって定義される数列で、初めのほうは

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...

といった具合になっています。
これは色々な性質を満たすのだけれども、
昔私が気付いたこと(もちろん well-known な結果だけれども)
についてちょっと書いてみます。
フィボナッチ数列の持つ性質の一つとして、

m | n ならば F(m) | F(n)

というものがあります。
たとえば F(3)=2 なので、
F(3), F(6), F(9), F(12), ... などはすべて 2 で割り切れます。
同じように F(4)=3 なので
F(4), F(8), F(12), F(16), ... などはすべて 3 で割り切れます。

では、p を勝手な素数としたとき、
p | F(n) となるような自然数 n はいつでもあるでしょうか?
実はそのような自然数 n は必ず存在することが分かるのですが、
それらのうちで最小のものを n(p) と書くことにします。
たとえば 5 で割り切れる F(n) のうちで n が最小のものは F(5)=5 なので n(5)=5、
7 で割り切れる F(n) のうちで n が最小のものは F(8)=21 なので n(7)=8 といった具合。
いくつか例を挙げると、

n(2)=3, n(3)=4, n(5)=5, n(7)=8, n(11)=10, n(13)=7, ...

といった具合。
ここに某かの規則性を見出すことは出来るでしょうか?
実は、次のような性質があることが観察されます。

p≠5 ならば p≡±1 (mod n(p))

たとえば n(13)=7 なので 13≡-1 (mod 7) です。
この ±1 の規則性はどうやって決まっているのでしょうか。
そして、5 だけが例外なのはどうしてでしょうか。
この2つの問いは一度に解けて、実は次のようになっています。

【定理】任意の素数 p に対して p≡(5/p) (mod n(p)) が成り立つ。
ただし (m/p) はルジャンドルの記号を表す。

証明は、とても雑に言えば、
有限体 GF(p) でフィボナッチ数列を考えることで出来ます。
スポンサーサイト
コメント
はじめまして。
数学好き(ただしテストの点数は、芳しくない)な高校生、yuukaです。

フィボナッチ数列は、有名な数列ですよね?
ダビンチコードにも出てきました。

あっ、リンクさせてもらってもよろしいでしょうか?
2006/12/22(金) 22:09:04 | URL | yuuka #6qKOK7k6[ 編集]
もちろんです
yuukaさん、はじめまして。
フィボナッチ数列は、色んな所に顔を出すし、
色んな規則性を持っているので
手頃な遊び道具なんですよね。
ダヴィンチコードは未読なんだけれども、
フィボナッチ数列が登場するんだっていうのは聞いたことがあります。

リンクの件ですが、もちろんどうぞ!
2006/12/24(日) 22:00:49 | URL | 笹の葉さらさら #-[ 編集]
コメントする
URL:
Comment:
Pass:
秘密: 管理者にだけ表示を許可する
 
この記事のトラックバックURL
http://kinginsunago.blog63.fc2.com/tb.php/14-8ea58370
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。