わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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それにしても、なんだって素数というものに注目するのでしょう。
その一番の理由は、そう、素因数分解です。
どんな自然数も、素数の積として、順番を除いてただ一通りに表される、
という定理があるからです。

自然数 n に対して、もし n 自身が素数ならばそこでおしまい、
もし素数でなければ n は 1 でも n でもない約数 d を持つので、
ある自然数 m が存在して n=dm と書けます。
ここで、もし d も m も素数ならばここでおしまい、
もしそうでなければ、おのおのについて同じことを繰り返すことで
いつかは素数の積にまで分解するでしょう、というのが
「素因数分解の存在」の理屈。
これはちょうど、素因数分解の再帰的なアルゴリズムの説明にもなっています。

ではでは、素因数分解は順番を除いてただ一通りであることの証明は?
n=p_1^{e_1}...p_k^{e_k}=q_1^{f_1}...q_m^{f_m}
と二通りに分解したと仮定します。
このとき、p_1 は右辺を割り切ることから、
p_1 は q_i のいずれかと一致しなければなりません。
というのも、素数 p が積 ab を割り切るならば、
a か b のいずれかは p で割り切れなくてはならないからです。
(この事実がネック。もちろん証明が必要)
この理屈を重ねていくことで、k=m かつ適当に並び替えることで
p_i=q_i としてよい、ということが分かり、
あとは一方の分解が他方の分解を割り切ることから
e_i≧f_i かつ e_i≦f_i で、e_i=f_i となり、
めでたく分解はただ一通りであることが分かります。

というわけで、素数の「素」は素材の「素」でもあるわけでした。
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コメント

ありがとうございます。

リンクは→明日は明日の風が吹くの方に、させていただきました。

最近は↑のサイトを更新しているので。


では。
これからもよろしくお願いします。
2007/02/05(月) 13:20:30 | URL | yuuka #6qKOK7k6[ 編集]

yuukaさん、お返事が遅くなってごめんなさい。
リンク、どうもありがとうございました。
こちらこそ、よろしくお願いします。
2007/03/03(土) 13:42:43 | URL | 笹の葉さらさら #-[ 編集]
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