わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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LaTeXIT というアプリできれいな数式の画像が簡単に作れるので、
楽しくなっちゃって、思わず本日2つ目のエントリー。
三角関数の倍角公式の話です。

まず

S(x)の定義

とおきます。これは公式をきれいに書くため。
すると、任意の自然数 n に対して

倍角公式

という公式が成り立ちます。
なかなかインパクトがあります。
サイン関数の2倍角公式や3倍角公式の形

正弦関数の2倍角と3倍角公式

になじみがある人は
「こんな綺麗な一般的公式があるんだ!」
って感じで、新鮮かも知れませんね。

なお、両辺を S(x) で割っておいて x→0 の極限を取ると

倍角公式の特殊化

という等式が得られますが、これは
「単位円に内接する正n角形のある一つの頂点から
 残りのnー1個の頂点に引いて出来る対角線の長さの積は
 ちょうどnに等しい」
という図形的な解釈があります。
ちょっと不思議で素敵でしょう?
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コメント
独立した! シンプルな証明! を
はじめまして 質問です;

             問1  乗積
Product[Sqrt[(-1+Cos[(2*k*Pi)/n])^2+Sin[(2*k*Pi)/n]^2],{k,1,n-1}] = n
                 の 証明を!
             問2
Abs[Product[E^((2*k*Pi*I)/n)-1,{k, 1, n - 1}]]=n
                 の 証明を!
( 問1と問2は 同一ですが 独立した! シンプルな証明! を お願い致します!)
--------------------------------------
掲げておられるSinに関する定理を
使わない手法をも !
2007/09/09(日) 08:34:35 | URL | G #kvDv2TXo[ 編集]
】、【出典the source】 を 御教示ください
          対角線の長さの積が___
         このシンプル極まる定理が
http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=17754&mode2=preview_pc
で 【俎上に載せられておりますが】、【出典the source】 を 御教示ください。』
2007/09/09(日) 08:40:56 | URL | G #kvDv2TXo[ 編集]

はじめまして。
コメントありがとうございます。

1つめの書き込みについて。
色々な解法があるのでしょうが、
私が知っていたものは
リンクを張っていただいた掲示板の中でも紹介されている
複素数(オイラーの公式)を用いたもの
(クロメルさんによるNo.17783)
です。
幾何の言葉を代数の言葉に翻訳するという手法の
強力さが際だっていて好きです。

2つめの書き込みについて。
問題の出典とのことですが、
私自身は、とある先生の古い講義ノートのコピーで
初めて知りました。
オリジナルは分かりません。
サイン関数の倍角公式がきれいに書けることも
そこで知りました。
(証明はやはり複素数で同じように出来ます)

余談ですが、
「単位円に内接する正n角形のある一つの頂点から
 残りのn-1個の頂点に引いて出来る対角線の長さの逆2乗の和は
 いくつになるでしょうか?」
というのも面白いかもしれませんよ?

#ずいぶん放っておいたブログを
#偶然見に来て気づきました。
2007/09/09(日) 14:15:30 | URL | 笹の葉さらさら #-[ 編集]
証明について
     有難うございました。

「単位円に内接する正n角形のある一つの頂点から
 残りのn-1個の頂点に引いて出来る対角線の
長さの逆2乗の和は いくつになるでしょうか?」
は添付の n∈N-{1,2}-----A---->A(n)ですね.
http://b4.spline.tv/study777/?message=343
-------------------------------------------------------
             問1     乗積
Product[Sqrt[(-1+Cos[(2*k*Pi)/n])^2+Sin[(2*k*Pi)/n]^2],{k,1,n-1}] = n
                 の 証明を!
             問2
Abs[Product[E^((2*k*Pi*I)/n)-1,{k, 1, n - 1}]]=n
                 の 証明を!
( 問1と問2は 同一ですので 双方の独立した シンプルな証明を お願い致します!)
------------------------------------------------------

  ところで、問1,問2 双方共 (独立に!) 証明は完了 しました が
           手法を限定し;
質問1; 数学的帰納法(mathematical induction)
に よる 証明は 叶いますか?

  http://b4.spline.tv/mynb/?message=58
   n=8のとき成立するのでn=9のとき......

質問2; 実質同じ質問ですが、漸化式(差分方程式)はつくれますか?

質問3; 質問1が不可なら その証明は可能ですか?

質問4; 数学的帰納法(mathematical induction)より証明できない
      命題P(n) の 例達を 教示願います。



2007/09/09(日) 21:13:35 | URL | G #kvDv2TXo[ 編集]
長さの【逆m乗】の和は 
触発され 素直な問題達が産声をあげました;

http://jp.youtube.com/watch?v=WUXfJsXcb4M&mode=related&search=

「単位円に内接する正n角形のある一つの頂点から
 残りのn-1個の頂点に引いて出来る対角線の
長さの【逆m乗】の和は いくつになるでしょうか?」

mが偶数なら 基礎体Qの元。
mが奇数なら Qの或る代数拡大体Kの元。
になる予感∃!
---------------------------------
    証明してください
2007/09/09(日) 22:56:18 | URL | G #kvDv2TXo[ 編集]

お出かけしていたので返事が遅くなりました。

ご質問1~4について:
分かりません。
もし何かお気づきのことがありましたら
教えていただけると嬉しいです。
2007/09/14(金) 17:59:51 | URL | 笹の葉さらさら #-[ 編集]
再掲+追記
単位円に内接する正n角形のある一つの頂点から
 残りのn-1個の頂点に引いて出来る対角線の
長さの逆2乗の和は いくつになるでしょうか?」
は添付の n∈N-{1,2}-----A---->A(n)ですね.
http://b4.spline.tv/study777/?message=343
-------------------------------------------------------
<--再掲しました。
面白いと云われる所以は何処を指されるのでしょうか?
=============================
遂に出典を射止めました。
知りたくないですか?
2007/09/14(金) 19:24:39 | URL | G #kvDv2TXo[ 編集]

「面白いと云われる所以」とのお尋ねですが、
これは主観に依るところが大きいので
一つの意見として軽く受け止めていただければと思いますが、
(1) nの多項式として明示的に書くことが出来ること、
(2) 自然数の逆2乗和の計算への応用があること、
の二つを挙げておきます。
(少し調べれば見つけられることだと思いますので、詳しい説明はいたしません)
2007/09/14(金) 21:25:19 | URL | 笹の葉さらさら #-[ 編集]
 【真意を汲んでください】
遂に の 【真意を汲んでください】
http://b4.spline.tv/mynb/?message=86

2007/09/15(土) 11:59:08 | URL | G #kvDv2TXo[ 編集]
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