わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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元気(やる気)があるうちに書きためておこう。
(ブログって、そういうもんではない気もするんだけれど)

無限和の計算は、時にデリケートな配慮を必要とするけれども、
(勝手に和の順番を変えちゃダメだ、とか)
いわゆる「絶対収束級数」の計算は
デリカシーのない自由な式変形が許されるので気が楽だし、
無限に和を取っていることの御利益として
「誤差項が0である」ことから「結果の形がきれい」なことも多く、
好きです。
簡単な和から。

070304-0.png

などというのはわりかしポピュラーかもしれませんね。
面積が 1/2 の長方形に、面積が 1/4 の正方形をくっつけて、
それに面積が 1/8 の長方形をくっつけて、と続けていくと、
だんだん面積が 1 の正方形に近づいていくというイメージも面白いです。

これの変形として、次のような和も計算出来ます。

070304-1.png

実際、次のような式変形を観察すれば良いです:

070304-2.png

右辺に、計算したかった元の和の 1/2 倍が現れるので、
これを左辺に移項すればよろしい、という仕組み。
「添え字を1つずらしても和が変わらない」という
無限和ならではの小細工が使えるあたりも楽しみの一つです。

より一般に

070304-5.png

という和を計算するにはどうしましょう?
上の計算でやったような小細工の背後には、

070304-3.png

という二項展開を使った一般的な式変形があります。
なお、二項係数(組み合わせの数)を表す記号として、
高校数学では使われない記号

070304-4.png

をここでは採用しました。
高校で用いられる pCk に比べて、
この記号の方が数字が大きく表示されているので見やすいです。

さて、二項展開を用いると、

070304-6.png

という計算が出来ます。
さりげなく和の順番の入れ替えが用いられていますが、
今は「和の順番、勝手に入れ替えても大丈夫?」といった配慮が
必要ない状況にあることが分かるので、
がんがん計算しました。

かくして、S(k) たちに関する漸化式

070304-7.png

が得られました。
いくつか例を計算してみると、

070304-8.png

といった具合。
いくらでも計算できちゃいます。
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