わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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今日は少しだけ、前回登場した σ(n) に関連して。
これは、n の約数の和を表していました。
たとえば、6 の約数は 1, 2, 3, 6 なので、
 σ(6)=1+2+3+6=12
といった具合です。

これ、よーく見ると、元の数 6 のちょうど2倍になっています。
あるいは、1+2+3+6=12 において 6 を右辺に移項すると
 1+2+3=6
と書くことも出来ます。つまり、
「自分自身以外の約数を足し合わせると自分自身に等しい」
という性質を持っています。
このような数は古来より完全数と呼び習わされています。
6 の他にも、たとえば 28 も完全数です。
じっさい、28 の約数は 1, 2, 4, 7, 14, 28 ですが、
 1+2+4+7+14=28
となっています。
28 の次に見つかる完全数は 496 なので、
一生のうち、年齢が完全数になるのは高々2回しかない、ということだね。
(6歳や28歳の人が身近にいたら教えてあげると良いかもしれない)
ついでに、その次に小さい完全数は 8128 です。

例に出てきた完全数はどれも偶数なんだけど、
偶数の完全数がどういう形をしているかということはきっちり分かっています。
それは、上の4つの例を
 6=2×3
 28=4×7
 496=16×31
 8128=64×127
と分解してみると、だいたい想像できるかもね。
4つとも 2n×(2n+1?1) という形であって、
しかも二つめの因数 2n+1?1 は素数になっていますが、
偶数の完全数は、必ずこういう格好をしていることが分かるんです。

では、奇数の完全数はあるのかないのか、ということについては、
今のところは「分かりません」という状況みたいです。
偶数の完全数についても、どういう形をしてなくちゃいけないかは分かってるけれど、
そういう形をした数が無限にたくさんあるんだろうか、
ということについては、やっぱり「分かりません」ということのようです。
この問題の起源は古代ギリシアまでさかのぼったりするらしく、
というわけで、数学の中でも最も古い未解決問題の一つだと言えそうです。

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
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