わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

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今回は確率の話題です。
次のようなゲームを考えてみます。

プレイヤーは、最初に参加料 100 ドルを払う。
最初の時点で、払戻金は 1 ドル。
プレイヤーがコインを投げて、
(1) もし表が出たら、払戻金が 2 倍に増額されてゲームは続行、
(2) もし裏が出たら、その時点でゲーム終了、払戻金が支払われる。

つまり、たとえば
・1回目のコイントスで裏が出たら、1ドルを受け取って終了
・1回目で表、2回目で裏が出たら、2ドルを受け取って終了
・1回目と2回目が表、3回目で裏が出たら、4ドル受け取って終了
・1回目?3回目が表、4回目で裏が出たら、8ドル受け取って終了
・1回目?4回目が表、5回目で裏が出たら、16ドル受け取って終了
といった具合です。

さて、このゲームを行うとき、
プレイヤーが受け取ることになる払戻金の期待値は、いったいいくらでしょうか?
n 回目のコイントスで終了する確率は 1/2n であり、
そのときに受け取る払戻金は 2n?1ドルなので、
期待値は

 1×1/2 + 2×1/4 + 4×1/8 + 8×1/16 +16×1/32 + … = ∞

ということになりますよ!
ということは、参加料の 100 ドルは確かに高額だけれども、
十分に元が取れるゲームである、と判断していいのでしょうか?

実際にこういうゲームがあったとして、あなたはこのゲームをやりますか?
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
コメント

無限のときの期待値って怖いですね(;´▽`A``

とりあえず、参加料を超えるのは7回連続表ですか・・・

日本の宝くじより効率悪い(;´Д`) うぅっ。。


2006/04/27(木) 16:51:54 | URL | 猫顔 #YG9ONXHE[ 編集]

こわいですよねー。
「期待値が∞ってことは、必ず儲かるってことでしょ?」
って短絡するのは危ないですよね。
2006/05/01(月) 21:03:19 | URL | 笹の葉さらさら #-[ 編集]
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