わりと好きかもしれません。

お気に入りの数学の話題について、ぽつりぽつりと書きつづっていければと思います。

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
無限級数
 Σ 1/n(n+1)=1
の計算は有名です(n はすべての正整数を走る)。
いわゆる部分分数分解をすれば
 1/n(n+1)=1/n?1/(n+1)
なので、隣り合う項の間で相殺が起こるおかげで、
はじめの N 項の和が明示的に
 (1?1/2)+(1/2?1/3)+…+(1/N?1/(N+1))
=1?1/(N+1)
と計算できる、だから N→∞ とすれば和が 1 と求まる、
という仕組みでした。

では、と少し一般化を考えてみます。
たとえば
 Σ 1/n(n+1)(n+2)
はどうなるでしょうか?

これは、部分分数分解
 1/2 [1/n?2/(n+1)+1/(n+2)]
を利用することではじめの N 項の和が同じような相殺によって
 1/2 [1/1?2/2+1/3]+1/2 [1/2?2/3+1/4]+1/2 [1/3?2/4+1/5]+…+1/2 [1/N?2/(N+1)+1/(N+2)]
=1/4?1/2[1/(N+1)?1/(N+2)]
となるので、N→∞ とすれば
 Σ 1/n(n+1)(n+2)=1/4
と計算できます。

では、一般に
 Σ 1/n(n+1)(n+2)…(n+k)
はどうなるのでしょうか?
実はこの無限級数の和は k を用いてばしっと書くことが出来て、
その答えは 1/(k・k!) です(k=1,2 のときは確かに合っています)。

一般的な場合の証明は、どうするのがいいのでしょうか?
やっぱり部分分数分解に頼る?
(この方針で実際にやってみると、
「これはなかなか『イバラの道』なんじゃない?」
 という気分になっちゃうかもしれません)

スポンサーサイト
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
コメント
コメントする
URL:
Comment:
Pass:
秘密: 管理者にだけ表示を許可する
 
この記事のトラックバックURL
http://kinginsunago.blog63.fc2.com/tb.php/7-77d15a2d
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。