では、と少し一般化を考えてみます。
たとえば
　Σ 1/n(n＋1)(n＋2)
はどうなるでしょうか？

これは、部分分数分解
　1/2 [1/n−2/(n＋1)+1/(n＋2)]
を利用することではじめの N 項の和が同じような相殺によって
　1/2 [1/1−2/2＋1/3]＋1/2 [1/2−2/3＋1/4]＋1/2 [1/3−2/4＋1/5]＋…＋1/2 [1/N−2/(N＋1)+1/(N＋2)]
＝1/4−1/2[1/(N＋1)−1/(N＋2)]
となるので、N→∞ とすれば
　Σ 1/n(n＋1)(n＋2)＝1/4
と計算できます。

では、一般に
　Σ 1/n(n＋1)(n＋2)…(n＋k)
はどうなるのでしょうか？
実はこの無限級数の和は k を用いてばしっと書くことが出来て、
その答えは 1/(k・k!) です（k＝1,2 のときは確かに合っています）。

一般的な場合の証明は、どうするのがいいのでしょうか？
やっぱり部分分数分解に頼る？
（この方針で実際にやってみると、
「これはなかなか『イバラの道』なんじゃない？」
　という気分になっちゃうかもしれません）